选修1-1 3.1.1 变化率与导数 (用） -

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2020/12/28

石家庄第45中学

授课者：刘某某

3.1.1 变化率问题

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?

问题1 气球膨胀率

操作验证：

利用函数图象计算：

r(0)=_________

r(1)≈ _______

r(2)≈ ________

r(2.5)≈ _______

r(4)≈ _________

所以，随着气球体积逐渐变大，它的____________逐渐变小了。

0

0.62

0.78

0.85

1

0.62

0.16

0.14

0.10

平均膨胀率

函数

(0≤V≤5 )的图象为:

问题2 高台跳水

= 4.05(m/s)

= - 8.2(m/s)

探究：

答: (1)不是。先上升，后下降。

(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态

它并不能反映某一刻的运动状态。

0m/s

建构数学－平均变化率

在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s内的 平均速度

在例1中：对于函数 当空气容量

从V1增加到V2时,气球的

平均膨胀率

一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的

平均变化率

建构数学－平均变化率

所以，平均变化率可以表示为：

平均变化率:

式子

令△x = x2  x1 , △ y = f (x2)  f (x1) ,则

称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.

平均变化率的定义：

2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0

理解

观察函数f(x)的图象平均变化率

表示什么?

直线AB的斜率

思考

直线AB的斜率

A

B

思考

思考：

函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 =

的几何意义是什么？

答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率

例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ 3 , 1]上的平均变化率 ；

(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。

题型一：求函数的平均变化率

练习

1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+XXXXXx,-2+XXXXXy),则XXXXXy/XXXXXx=( )

A . 3 B . 3XXXXXx-(XXXXXx)2 C . 3-(XXXXXx)2 D . 3-XXXXXx

D

3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

A

△x+2x0

课堂练习：

2、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。

小结：

1.函数的平均变化率

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量：XXXXXy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率：

2020/12/28

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