第五章 案例分析

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第五章 案例分析

5.1函数单调性

5.1.1案例背景

函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；另一方面，函数的单调性，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

5.1.2案例描述及分析

这里只引用部分环节，完整的教学设计见附录

㈠创设情境，引入课题

1.如图为某市一天内的气温变化图：

图3

⑴观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

⑵怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

通过以上两个问题，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，是很有帮助的。

2.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：股票价格、水位变化、心电图等等

在学生分析、感知了生活中的实例后，引出课题——用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。这一环节的设计，由生活情境引入新课，激发学生学习兴趣。

㈡归纳探索，形成概念

1.借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数
，
，
,
的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画）

对于前三个函数，根据初中所学，容易回答：函数
函数值
随
的增大而增大；函数
函数值
随
的增大而减小；函数
在
轴的的左侧
随
的增大而减小，在
轴的的右侧
随
的增大而增大。教师要适时引导学生，回答时注意函数的定义域，并且我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个定义域内是单调函数，但在定义域的某个子集上可以是单调函数，让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。

最后一个函数
的图像变化规律，对学生来说，会是个难点，可能出现如下两种回答：

（1）定义域中的减函数；

（2）在
上
随
的增大而减小，在
上
随
的增大而减小。

对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？教师不要急于释疑，可让学生分组讨论，从定义域，图像的角度考虑，也可以举反例。这样既体现了课堂中学生的主体地位，也训练了学生的思维。

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数
在某个区间上随自变量
的增大，
也越来越大，我们说函数
在该区间上为增函数；如果函数
在某个区间上随自变量
的增大，
越来越小，我们说函数
在该区间上为减函数。

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识。

这个问题的设计意图是让学生从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。

问题3：如何从解析式的角度说明
在
为增函数？

学生可能会给出这样的回答：⑴在给定区间内取两个数，例如1和2，因为
,所以
在
为增函数；⑵仅仅两个数的大小关系不能说明函数
在区间[0，+∞）上为单调递增函数，应该举出无数个。

由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对⑵的说法表示赞同。

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量，进一步寻求自变量的差与相应函数值的差之间的变化规律，判断函数单调性。注意这里的“都有”是对应于“任意”的。

这个问题的设计意图是让学生把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫。

2．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。

在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入。

5.2函数的零点与方程的根

5.2.1案例背景

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，因此我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想。

5.2.2案例描述与分析

㈠创设情境，引入课题

方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。[15]方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！

设计意图：不仅使学生知道五次以上一般方程，含指数对数的超越方程无求根公式，用方程的思想不能求根，要借函数的思想把方程问题转化为函数问题。从而明白为什么要学本节内容。而且使学生了解所学新内容的背景，体会人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神及所能达到的崇高境界，增强探索精神，培养创新意识。

㈡探索研究

问题1：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象与x轴交点的

横坐标的关系。

表1

方 程









函 数









函数图象

（简图）









方程的实数根









函数的图象与

x轴的交点











设计意图：引导学生从熟悉的，具体的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备，为理解函数零点，了解函数零点与方程根的关系作准备。

问题2：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象x轴交点的横坐标关系，上述结论是否仍然成立？

表2

(＝b2－4ac

ax2＋bx＋c＝0 (a≠ 0) 的根

y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0) 的图象与x轴交点



(>0

两个不相等的实数根x1 、x2

(x1,0) , (x2,0)



(=0

两个相等的实数根x1 =x2

(x1,0)



(

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