2.2.1 椭圆及其标准方程

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2.2 椭圆

2.2.1 椭圆及其标准方程 通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）

2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）实验操作(1)取一条定长的细绳；

(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；

(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.探究点1 椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：

1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的

还是运动的？

2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明

了什么？

3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小

有怎样的关系？ 思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？椭圆定义：

我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.

两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.

两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆|MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段|MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结】探究点2 椭圆的标准方程根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？　　思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1）建系设点;（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验.第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？方案一 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) .请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图). 设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .xF1F2MOy由椭圆的定义得因为移项，再平方整理得两边再平方，得它表示焦点在y轴上的椭圆.它表示焦点在x轴上的椭圆.12yoFFMx（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式

的平方和，右边是1;

（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，

则焦点在哪一个轴上;

（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.椭圆的标准方程有哪些特征呢？【提升总结】例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),

(2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设

它的标准方程为由椭圆的定义知因此, 所求椭圆的标准方程为能用其他方法求它的方程吗？另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它

的标准方程为:①②联立①②,因此, 所求椭圆的标准方程为:又∵焦点的坐标为【变式练习】已知椭圆经过两点 和 ，求椭圆的

标准方程.解：设椭圆的标准方程为则有 解得 所以，所求椭圆的标准方程为 .xyODMP例2 如图，在圆 上任取一点P，过点P

作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动

时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则因为点P（x0,y0）在圆．．①把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以点M的轨迹是一个椭圆.从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),

直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求

点M的轨迹方程.yAxMBO解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为1.已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，

过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形

MNF2的周长为（ ）

A.10 B.20

C.30 D.40B2.椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），则椭圆的标准方程是_________.

答案：3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线

上的点到两个焦点的距离和为3 m，

求这个椭圆的标准方程.解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为定 义图

形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c

的关系{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|} 每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.

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