【全国百强校word】【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（三）理数试题
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(三)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则=（ ）
A． B． C． D．
2.复数(其中为虚数单位,)满足是纯虚数,则=（ ）
A． B． C． D．
3.已知.若“”是真命题,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．(1,3) D．
4.已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是
,其斜率为,则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
5.电路从到上共连接着6 个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从到 连通的概率是（ ）
A． B． C. D．
6.已知点,若实数满足,则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7.已知,则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
8.某锥体的三视图如图所示,用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分,则截面面积为（ ）
A．2 B． C. D．
9.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）
A． B． C. D．
10.将函数的图象按以下次序变换:①纵坐标不变，横坐标变为原来的，②向左平移个单位，得到函数的图象(如图所示，其中点,点,则函数在区间上对称的中心为（ ）
A． B． C. D．
11.已知给出以下三个命题:
①分别过点作的不同于轴的切线,两切线相交于点,则点M的轨迹为椭圆的一部分;
②若相切于点,则点的轨迹恒在定圆上;
③若相离,且,则与都外切的圆的圆心在定椭圆上.
则以上命题正确的是（ ）
A．①② B．①③ C.②③ D．①②③
12.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个极值点，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C.2 D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某学校男女比例为2:3,从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本,若女生比男生多10 人,则= ．
14.如图所示,已知在中,交于点,,则= ．
15.某港口停泊两艘船,大船船速40 海里/小时,小船船速20 海里/小时,某时,大船从港口出发,沿东偏北60°方向行驶2.5小时后,小船开始向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇,最少需要的时间是______小时．
16.母线长为,底面半径为的圆锥内有一球,与圆锥的侧面、底面都相切,现放入一些小球,小球与圆锥底面、侧面、球都相切,这样的小球最多可放入____个.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列满足,且.
(1)设证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项某某．
18.如图,在中,,沿将翻折到的位置,使平面⊥平面.
(1)求证:⊥平面;
(2)若在线段上有一点满足,且二面角的大小为60°,求的值.
19.我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响,把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为:风速不小于30米/秒的称为强台风,风速小于30米/秒的称为风暴,下表是2014 年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计:
强台风
风暴
东部沿海
9
6
西部沿海
3
12
(1)根据上表,计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关;
(2)2017 年8月23 日，“天鸽”在深圳登陆,造成深圳特大风暴,如图所示的茎叶图统计了深圳15 块区域的风速.(十位数为茎,个位数为叶)
①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25 的概率;
②任取3个区域进行统计,表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.已知双曲线的左、右顶点分别为,直线与双曲线交于,直线交直线于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若点的轨迹与矩形的四条边都相切,探究矩形对角线长是否为定值，若是,求出此值;若不是,说明理出.
21.已知函数,其中为自然对数的底数,若当时,的最大值为.
(1)求函数的解析式;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
(1)求圆的直角坐标方程,并写出圆心和半径;
(2)若直线与圆交于两点,求的最大值和最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(1)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)若不等式的解集为],求实数的值.
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(三)
一、选择题
1-5:ADCB 6-10:DCCDD 11、12：AD
二、填空题
13.50【解析】由题意得
14.【解析】设
,即,由三点共线,得,解得，又,所以,所以.
15.3.5【解析】设港口为,小船行驶1.5小时到达,此时大船行驶到,大船折向按方向行驶,大船与小船同时到达点时,用时最少.设从到,大船行驶时间为,则.由余弦定理得,
,即最少需要3.5小时.
16.10【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高某某3,如图1.
设球半径为,由,可得,故,所以,故得.设小球半径为,同理可得r,故,所以小球半径,且.这时到直线的距离为.这些小球相邻相切，排在一起,则球心在一个半径为的圆上(图2),
为相邻两球切点,分别为相邻两球球心，设,则，由三角函数性质,可知，因为，故可得能入入小球个数最多为10
三、解答题
17.解:(1)把,代入到，
得，
两边同除以，
得,
∴为等差数列,首项,公差为1,
∴.
(2)由 ，
∴
两式相减,得
18.解:(1)中,由余弦定理,可得.
∴,
∴.
作于点,
∵平面⊥平面,
平面平面
∴⊥平面.
∵平面.
∴.
又∵,
∴⊥平面.
又∵平面,
∴.
又∵,
∴⊥平面.
(2)由(1)知两两垂直,以为原点,以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,
则.
设,
则由
.
设平面的一个法向量为,
则由
取.
平面的一个法向量可取,
∴=
∵
∴
19.解:(l)列联表如下:
强台风
风暴
合计
东部沿海
9
6
15
西部沿海
3
12
15
合计
12
18
30
由列联表中数据，
可得的观测值
所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关.
(2)①风速小于25的区域有7块，
2块区域风速都小于25的概率为
故取到2个区域风速不都小于25的概率为
②达到强台风级别的区域有5块，
故.
,
,
,
,
故随机变量的分布列为
0
1
2
3
20.解:(1)设点，其中
由题意,得.
由，①
,②
两式相乘得,
∵，
∴，
代入上式得
,
由①与,得,
①÷②，得.
故点的轨迹方程为.
(2)设点,过点作椭圆的切线，
则切线的斜率存在且不为0,设斜率为,
则切线方程为,代入到椭圆方程整理，
得
即.
这个关于的一元二次方程的两根即为与,
由,
得.
设为坐标原点,故可知,
同理,得,
即点为矩形外接圆的圆心,其中为直径,大小为，
故矩形对角线长为定值
21.解:(1)由题意，得
当,即时,在时为单调递减函数，
所以最大值为.
当,即时,当时,单调递增;
当时,单调递减，
所以的最大值为.
当,即时,在时为单调递增函数，
所以的最大值为.
综上得
(2)令.
①当时,,
由,得,
所以当时,;
当时,,
故最小值为.
故当且时,恒成立.
②当,且时,.
因 为,
所以单调递增，
故.
令,
则,
故当时，为减函数，
所以,
又,
所以当时,,
即恒成立.
③当,且时，
,
因为,
所以单调递减，
故.
令,
则,
所以当时,为增函数，
所以,
所以,即.
综上可得当时,“”是“g(a) 成立”的充要条件.
此时.
令,
则,
令,得
故当时,;
当时,,
所以的最大值为，
当且仅当时,取等号，
故的最大值为.
22.解:(1)
.
圆心为(2,3),半径为.
(2)把直线的参数方程代入圆的标准方程,
得,
整理得,
,
设两点对应的参数分别为,
则.
所以
=
因为,
所以,
即的最大值为,最小值为.
23.解:(1)对
当且仅当时取等号，
故原条件等价于,
即或,
故实数的取值范围是.
(2)由,可知,
所以’
故.
故,的图象如图所示，
由图可知
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