--二项式定理复习课ppt

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复习课

----二项式定理及应用

要点梳理

1.二项式定理

2.通项公式

§1.3.2二项式定理3.二项式系数的性质

（1）对称性：

（2）增减性与最大值：

当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 .

当n是奇数时，中间两项同时取得最大值， 分别是 和 。

（3） 二项式系数的和

=2n

.

其中=

=高考二项式定理的三种题型:

《二项式定理》是高考主要内容之一。高考要求是：掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。它在高考中总是以选择和填空的形式出现，分值为5分。出现的题型主要有三类：

1、求二项展开式中指定项，如常数项、 有理项、整式项、系数最大的项等。

2、求某二项式系数。

3、求系数和.

解 （1）通项公式为Tr+1=

，∵第6项为常数项，

∴r=5时，有 =0，即n=10.一、解答题

1.已知在 的展开式中，第6项为常数项.

（1）求n；

（2）求含x2项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项.（2）令 =2,得r= (n-6)=2,

∴所求的系数为

∈Z,

0≤r≤10,

r∈Z,

令 =k (k∈Z),则10-2r=3k，即r=5- k.

∵r∈Z，∴k应为偶数.

∴k可取2,0,-2，即r可取2,5,8.

∴第3项，第6项某某9项为有理项，它们分别为

（3）根据通项公式，由题意得题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】在二项式 的展开式中，前三项的

系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系

数最大的项.

利用已知条件前三项的系数成等差数

列求出n,再用通项公式求有理项.

解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1， ，

n（n-1），

∴2· =1+ n（n-1），

解得n=8或n=1（不合题意，舍去），思维启迪

当4- k∈Z时，Tk+1为有理项，

∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求.

故有理项有3项，分别是

T1=x4，T5= x，T9= x-2.

∵n=8，∴展开式中共9项，

中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5= x.

求二项展开式中的指定项，一般是利用

通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符

合要求（求常数项某某，指数为零；求有理项某某，指

数为整数等），解出项数k+1，代回通项公式即可.探究提高

解析 因为(1+x)6的通项是Tr+1= xr,令r=5得T6=

x5;令r=2得T3= x2,所以（1-x3）(1+x)6展开式中x5的系数为 - =-9.-9.在（1-x3）(1+x)6的展开式中，x5的系数为 .题型二 求展开式中各项系数之和

【例1】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.

求:(1) a1+a2+…+a7;

(2) a1+a3+a5+a7;

(3) a0+a2+a4+a6;

(4) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.

解: 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①

令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 ②(1)∵a0= =1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.

(2)(①-②)÷2,

得a1+a3+a5+a7= =-1 094.

(3)(①+②)÷2,得

a0+a2+a4+a6= =1 093.

(4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,

而a1,a3,a5,a7都小于零,

∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|

=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),

=1093-（-1094）=2 187 探究提高 本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法.

对形如（ax+b）n、（ax2+bx+c）m （a，b，c∈R,m,n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之

和，常用赋值法，只需令x=1即可；对（ax+by）n

（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.

一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= ，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=知能迁移2

设（2- x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,

求: (1)a0;

(2)a1+a3+a5+…+a99;

(3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|.

解:（1）方法一: 由（2- x）100展开式中的常数项为 ·2100，得a0=2100.

方法二 : 令x=0，则展开式可化为a0=2100.

（2）令x=1, 得 a0+a1+a2+…+a99+a100=(2- )100 ①

令x=-1, 得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ )100 ②

联立①②得a1+a3+…+a99=

(3)原某某=［（a0+a2+…+a100）+（a1+a3+…+a99）］

·［（a0+a2+…+a100）-（a1+a3+…+a99）］

=（a0+a1+a2+…+a100）(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)

=(2- )100(2+ )100=1.

(4)∵展开式中，a0,a2,a4,…,a100大于零，而a1,a3,

…,a99小于零，

∴原某某=a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100

=(2+ )100.知能迁移1 已知 的展开式的二项式系数

和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992.求

的展开式中，

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项.

解 由题意知，22n-2n=992,

即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5.

（1）由二项式系数的性质知， 的展开式中

第6项的二项式系数最大，即 =252.（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，

∵r∈Z，∴r=3.故系数的绝对值最大的是第4项，

T4=- ·27·x4=-15 360x4.

方法与技巧

1.通项公式最常用，是解题的基础.

2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特

点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项某某要注意结合的合理性和简捷性.

3.求常数项、有理项和系数最大的项某某，要根据通

项公式讨论对r的限制；求有理项某某要注意到指数及项数的整数性.思想方法 感悟提高4.性质1是组合数公式 的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.

5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.

6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.失误与防范

1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来.

2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.

3.通项公式是第r+1项而不是第r项.一、选择题

1.（2009·重庆理，3）(x2+ )8的展开式中x4的系

数是 （ ）

A.16 B.70 C.560 D.1 120

解析 设二项式展开式的第r+1项含有x4,

则Tr+1= (x2)8-r（ ）r.

∴16-2r-r=4,∴r=4.

∴x4的系数为 ·24=1 120.D定时检测基础自测

1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为 （ ）

A.24 B.18 C.16 D.6

解析 T2=

所以2n=8，n=4,所以 = =6.D2.在 的展开式中，x的幂的指数是整数的项某某

有 （ ）

A.3项 B.4项 C.5项 D.6项

解析 Tr+1=

故当r=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项.C3.在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 （ ）

A.-7 B.7 C.-28 D.28

解析 只有第5项的二项式系数最大，则展开式共

9项，即n=8，

当r=6时为常数项，T7=7.B解析 ∵Tk+1= 为常数项,

∴k=4且 （-a）4=1 120，∴a4=16，∴a=±2,

当a=2时，令x=1,得各项系数和为(1- )8=1；

当a=-2时，令x=1，得各项系数和为(1+ )8=38.

答案 C5.已知 展开式中常数项为1 120，其中实数a为常数，则展开式中各项系数的和为 （ ）

A.28 B.38

C.1或38 D.1或28

二、填空题

7.已知n为正偶数，且（x2- ）n的展开式中第4项的

二项式系数最大，则第4项的系数是 .（用数

字作答）

解析 n为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开

式共7项，n=6，第4项系数为9.（2009·全国Ⅰ理，13）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 .

解析 (x-y)10的展开式中含x7y3的项为 x10-3y3

(-1)3=- x7y3,含x3y7的项为 x10-7y7(-1)7=

由 =120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240.-2404.在 的展开式中，常数项为15，则n的一个值

可以是 （ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

解析 通项Tr+1=

常数项是15，则2n=3r,且 =15，验证n=6时，r=4

合题意.D2.（2009·浙江理，4）在二项式 的展开式中，含x4的项的系数是 （ ）

A.-10 B.10 C.-5 D.5

解析 ∵ 的展开式的通项为

令10-3r=4,得r=2,∴x4项的系数为 =10.B 余数是1，所以是星期六作业：

1.课本 P35-36 习题 10， 2.课课练 第12，13课时

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