《计数原理》ppt课件

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分类计数原理与分步计数原理

问题1: 重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走法?

问题1: 重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走法．

分析: 从重庆到西昌有2类方法,

Ⅰ.乘火车，3种方法;

Ⅱ.乘汽车，2种方法;

所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。

如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？

如果完成一件事情有n类不同的办法，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

[探究]:　　

［延伸］：

共有： 3+2+2=7 种

分类计数原理

种不同的方法．

注意：每类方法都能独立完成这件事,不重复,不遗漏

（又叫：加法原理）

问题2: 在重庆工作的小李欲回广州老家过年，受雪灾影响重庆到广州的火车全部停运．于是他决定先乘火车到柳州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３班，汽车有２班，问小李一共有多少种走法？

问题2: 在重庆读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影响重庆到广州的火车全部停运．于是他决定先乘火车到柳州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３班，汽车有２班，问小李一共有多少种走法？

第二步, 由柳州去广州有2种方法；

分析:

第一步, 由重庆去柳州有3种方法,

所以 从重庆经柳州到广州共有3 XXXXX2 = 6 种不同的方法。

[探究] ：如果完成一件事情需要 n 步，每一步都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

[ 延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再乘飞机（如图），则共有多少种不同的走法？

共有 ：3XXXXX2XXXXX2=12种

分步计数原理

种不同的方法.

注意：只有每步都完成，事情才能完成

（又叫：乘法原理）

区别

分类计数原理(加法原理）

一般地,若完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法，XXXXX，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

　分步计数原理 （乘法原理）

一般地，若完成一件事，需要分成 n 步，做第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2 种不同的方法，XXXXX，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法.

做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这件事情

做一件事情要分为几步，每一步都完成了才能完成这件事情

例题1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。

(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？

(2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？

分析:

(1)完成从三好学生中任选一人去领奖，需分2类：

第一类，选一名男三好学生，有 5 种方法；

第二类，选一名女三好学生，有 4 种方法；

所以，根据分类计数原理，共有N =5 + 4 = 9种；

(2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会, 需分2步完成,

第一步，选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法;

第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法;

所以, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共 有 N = 5 XXXXX 4 = 20 种。

练习

1题 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有3本不同的数学书，第3层放有2本不同的英语书；

（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?

４＋３＋２＝９

４XXXXX３XXXXX２＝２４

(3)从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的取法

4XXXXX3+4XXXXX2+3XXXXX2=26

例2：体育福利彩票的中奖号码有7位某某码，每位某某若是0~9这十个数字中任一个，则每次摇奖产生的号码有多少种可能？

10

=10７

变１：这十个数字一共可以组成多少个７位某某？

9

= 9XXXXX10６

例2:体育福利彩票的中奖号码有7位某某码，每位某某若是0~9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的种数是多少？

变２： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的七位某某？

第29届奥运会在中国北京举行，在乒乓球比赛中，中国队的马琳、王某某、王励勤包揽了男子单打的前三名。有４位女粉丝前去献花，请问可能出现多少种献花情况。

例3

3XXXXX3XXXXX3XXXXX3 =34 = 81

类似问题练习：

1. 有三封信需要寄出，现在有４个邮筒，请问有多少种投递方法？

2. 学校创建语文、数学、英语3个兴趣小组,有4位同学想要加入,但每人只能参加一科,请问有多少种报名方法?

3. 某宾馆来了3个人投宿,此时宾馆还有4个单间,请问有多少种安排方法?

43

34

4XXXXX3XXXXX2=24

归

纳

推

理

分

类

讨

论

数学

源于生活

数学

用于生活

小结

分类计数原理与

分步计数原理

分类计数原理：针对的是“分类”问题，其各种方法互相独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事。

分步计数原理：针对的是“分步”问题，各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算做完这件事。

都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。

课后作业关于涂色问题的探究

课后作业

关于涂色问题的探究

问题背景：

数学史上著名的“四色问题”．1852年，弗南西斯XXXXX格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上严格证明呢？

这个猜想引起了 很多数学家的极大兴趣，但在这之后的100多年期间，他们都没有能严格的证明其正确性，终于在1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色问题的证明。

有条件的同学上网查阅更多关于四色问题　　的介绍

　　如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

课后作业

关于涂色问题的探究

探究：　

如果有４种颜色呢？５种颜色呢？

又有多少种不同的涂色方法呢？

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